☆ Équations plus « complexes » - Vers le supérieur - Corrigé

Énoncé

Préciser l'ensemble de validité de chacune des équations suivante, puis la résoudre.

1. \(- \dfrac{z}{iz+1} + \dfrac{3z}{z-i} = 2+i\)  

2.  \(\dfrac{z-1}{iz+2} =3i\)

3. \(\dfrac{z}{z-2i} = -1+i\)

4.  \(\dfrac{\overline{z}+i}{\overline{z}-i} = 1+i\)

Solution

1. L'équation est définie si  \(iz+1\neq0\)  et si  \(z-i\neq0\) .
\(iz+1 = 0 \iff z =- \frac{1}{i} \iff z=i\)  et  \(z-i\neq0\) \(\iff z=i\)
Ainsi, l'ensemble de validité de cette équation est  \(\mathbb{C}\setminus\{ i \}\) .

Pour tout  \(z \in \mathbb{C}\setminus \{ i \}\) , 
\(- \dfrac{z}{iz+1} + \dfrac{3z}{z-i}= - (-i) \dfrac{z}{(-i)(iz+1)} + \dfrac{3z}{z-i}= \dfrac{iz}{z-i} + \dfrac{3z}{z-i}= \dfrac{z(3+i)}{z-i}\)
Donc  \(S= \lbrace 1-2i \rbrace\) .

2. L'équation est définie si  \(iz+2\neq0\) .
\(iz+2=0 \iff z = -\frac{2}{i}\iff z= 2i\)
Ainsi, l'ensemble de validité de cette équation est  \(\mathbb{C}\setminus\{2 i \}\) .

Pour tout  \(z\in \mathbb{C}\setminus\{2 i \}\) ,
\(\dfrac{z-1}{iz+2} =3i \iff z-1 = 3i (iz+2)\iff z-1 = -3z + 6i\iff z = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2} i\) .
Ainsi,  \(S= \lbrace \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2} i \rbrace\) .

3. L'ensemble de validité de cette équation est  \(\mathbb{C}\setminus\{2 i \}.\)

\(S= \lbrace \dfrac{2}{5} + \dfrac{6}{5} i \rbrace\) .

4.  \(\overline{z} -i =0 \iff \overline{z} = i\iff z= -i\)
Ainsi, l'ensemble de validité de cette équation est  \(\mathbb{C}\setminus\{-i \}\) .

Pour tout  \(z \in \mathbb{C} \setminus \{ -i \}\) ,
  \(\dfrac{\overline{z}+i}{\overline{z}-i} = 1+i\iff \overline{z}+i = (1+i)(\overline{z}-i) \\\iff -i \overline{z} = -2i +1\iff \overline{z} = 2+i\iff z= 2-i\)
Ainsi  \(S= \lbrace 2-i \rbrace\) .